هندسه دیفرانسیل مقدماتی

هندسه دیفرانسیل، علم مطالعه هندسی خم ها و سطوح با استفاده از روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال است و سعی می نماید با استفاده از روش های ریاضی و فرموله کردن دقیق مفاهیم به بررسی خواص موضعی و سراسری اشیاء هندسی بپردازد.

در این کتاب مفهوم خم از دو منظر، یک بار به عنوان خم تراز و بار دیگر به عنوان خم پارامتری تعریف می شود و رابطه دقیق بین این دو نوع خــــم روشن می گردد و به منظور بررسی خواص خـــم، مفاهیمی چون انحنا و تاب تعریف می شود. انحنا مقدار خمیدگی خم را اندازه می گیرد و تاب نشان می دهد یک خم تا چه اندازه در صفحه واقع نیست. این دو مفهوم با هم دیگر شکل یک خم را تعیین می کنند. در ادامه مهمترین خاصیت سراسری خم ها، یعنی قضیه نامساوی هم پیرامونی » بیان و اثبات می گردد.

سپس سطوح با استفاده از مفهوم «قطعه سطح» به طور دقیق تعریف و با ارائه مثال های بسیار متنوع، این مفهوم به طور کامل به خواننده انتقال می یابد. حال اولین سئوال برای موجودی که روی یک شیئ هندسی که سطح نامیده می شود زندگی می کند این است که فاصله بین دو نقطه از آن چگونه باید اندازه گیری شود. طبیعی است که دیگر نمی توان فاصله این دو نقطه از سطح را با «پاره خط مستقیم» به عنوان کوتاه ترین مسیر، مثل زمانی که در فضای سه بعدی هستیم اندازه گرفت، وسیله ای که به ما اجازه می دهد تا طول، زاویه و مساحت روی سطح رامحاسبه کنیم «اولین فرم اساسی» است. در ادامه با معرفی «دومین فرم اساسی» که به ما کمک می کند تا مقدار خمیدگی یک سطح را اندازه بگیریم، به بررسی خواص بیشتر سطوح پرداخته می شود و با تعریف مفاهیمی چون انحناهای اصلی، قائم، میانگین و گوسی مقدار خمیدگی یک سطح با کمک خم های واقع بر آن تعیین می شود.

مطلب بعدی معرفی خم هایی روی سطح هستند که یک مــوجود کوچک ساکن سطح آن را به صورت خط راست می بیند یعنی خم هایی که به عنوان کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه از سطح مطرح می کنند این خم ها در هندسه دیفرانسیل «ژئودزیک» نامیده می شوند. معادلات ژئودزیکی به ما کمک می کنند که بتوانیم آن ها را شناسایی کنیم.

بررسی مشکل مشابه دربعد بالاتر، یعنی پیداکردن سطحی با مساحت مینیمال با خم مرزی ثابت که به مسئله پلاتو معروف است از دیگر مطالب مطرح در این کتاب می باشد.

در پایان «قضیه عالی گوس» و «قضیه گوس – بونه» که از زیباترین قضایا در هندسه دیفرانسیل می باشند در حالت های مختلف بیان و اثبات می شوند. قضیه گوس – بونه رابطه بین میانگین انحنای گوسی سطح و عدد اویلر را بیان می کند. در واقع این قضیه بیان می کند که علی رغم تغییر انحنای گوسی تغییر نمی کند.